不知道起什么标题好
我们知道，对一个矩阵做初等行变换，相当于对矩阵左乘初等矩阵；做列变换，则是右乘初等矩阵。这是由于$AB$的每一列是$A$的列向量的线性组合，每一行是$B$的行向量的线性组合。
而且，行（列）变换作用于$A$，即把$A$变为$MA$（把$A$变为$AM$），显然等价于行（列）变换作用于单位矩阵E再左（右）乘$A$。即$MA=(ME)A$。我们想要根据变换过程，求代表变换效果的矩阵$M$，也只要把变换的过程在$E$上施加一遍就好。所以我们求$A^{-1}$时，会作出分块矩阵$[A\quad E]$，并通过行变换将$A$化作单位矩阵——原理就是变换过程相当于$A$左乘了$A^{-1}$，此时$E$经历相同行变换，即会变为$A^{-1}E=A^{-1}$。同理，我们求矩阵方程$AX=B$时，可以做分块矩阵$[A\quad B]$然后只用行变换将$A$化为$E$。而求$XA=B$的解时，则需要竖着拼做列变换（因为要右乘$A^{-1}$）。
这样，我们也能理解求相抵标准型/相合规范型的初等变换方法了。
相抵标准型
相抵标准型就是求$PAQ=\begin{bmatrix}E_r&O \\ O&O \end{bmatrix}$，也就可以视为对$A_{m\times n}$做若干次初等行变换和初等列变换得到$\begin{bmatrix}E_r&O \\ O&O\end{bmatrix}$。其中行变换的总效果可以用矩阵$P$来表示，列变换的总效果可以用矩阵$Q$来表示。
如果题目要求我们求出$P$和$Q$，只需要作分块矩阵$\begin{bmatrix}A&E_{m\times m} \\ E_{n\times n}&O\end{bmatrix}$，然后作初等行列变换，将左上角分块化为$\begin{bmatrix}E_r&O \\ O&O\end{bmatrix}$后，左下方和右上方的分块即为所求。
另外，由做高斯消元法时的经验，无论矩阵是否满秩，我们可以通过行变换将矩阵化为简化阶梯型矩阵，此时再进行初等行变换，无法继续化简，就可以开始列变换了。$P$和$Q$并不是唯一的，我们可以考虑$A=[1]$的情形，此时可以有$P=[a]$，$Q=[\frac{1}{a}]$，总是满足相抵标准型的要求。
相合规范型
求相合规范型，也就是求$C^{T}AC$为对角矩阵（对角线元素为1,-1,0）。只要作出分块矩阵$\begin{bmatrix}A \\ E\end{bmatrix}$然后对$A$进行初等行变换的同时进行初等列变换，对$E$进行相应的列变换，直到$A$化为想要的矩阵。类似于相抵标准型的例子，这是容易理解的。从归纳法的证明来看，全过程的步骤就是沿着主对角线，利用主对角线上的元素逐步把同行同列的元素化为0.
补充：LU分解
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分块矩阵的初等变换
对于倍加变换，分块矩阵的行变换相当于对某一分块行左乘矩阵，再把这个分块行加到另一行。而我们知道左乘相当于做行变换（甚至不一定是初等的，因为左乘的这个矩阵不要求是“非零”的，也就是不要求是可逆的），即，分块矩阵的倍加行变换相当于对分块行内部先做若干次行变换，再把整个分块加到另一行上。
待补充…