几个主要探讨的问题
- 高阶求导时的链式法则（形式不变性的细节）
- 偏微分的一些公式
- $\frac{dy}{dx}$还是$\frac{d}{dx}y$? 线性主部的视角。
偏微分的一些公式
回顾偏微分的链式法则，对于$z=z(u(x,y),v(x,y)),$ $\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$，这和原本的微分链式法则形式上并非一致（即能“分子分母相消”）。
原因是定义和计算偏微分时，不变的变量很重要。函数有n个自由度，那么总是要确定n-1个量是不变的，再对于最后一个量求偏微分，才是合理的（对于存在换元的情形，也是如此，即如要换元，就要确定一个完整的新的坐标体系，将其中n-1个坐标固定，才是有意义的偏微分）。可以在偏微分符号加下标，表示保持过程中的这些量不会发生变化。
当我们在写下$\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}$时，我们其实写的是$(\frac{\partial z}{\partial x})y =(\frac{\partial z}{\partial u}){v(x,y)}\cdot (\frac{\partial u}{\partial x}){y}+(\frac{\partial z}{\partial v}){u(x,y)}\cdot (\frac{\partial v}{\partial x})_{y}$。
这其实有些类似于分量分解。